包絡線（envelope）

滑動一把梯子，使其腳沿地板滑出、頂端沿牆下滑，把梯子經過的每個位置都用粉筆畫下。你畫出的那團直線並不填滿整個牆角——它們反而擠向一條優雅的彎曲邊界，每條梯子線都恰好觸及它。那條邊界曲線，被族中每一成員親吻、卻不屬於其中任一者，就是包絡線。包絡線是與整族曲線中每一條都相切的曲線，是該族所描出的輪廓。

精確地說，設你有一個單參數曲線族，每條由方程式 F(x, y, c) = 0 給出，其中 c 是指明你所指族中哪一成員的參數（c 不同，曲線不同）。包絡線是與每一成員相切的曲線。求法是同時解兩條方程式：F(x, y, c) = 0（你落在某成員上）與 F 對 c 的偏導數設為零，即 dF/dc = 0（鄰近成員在此堆疊）。在這兩式間消去 c 便得包絡線的方程式。直觀上，包絡線是族中無限接近的成員相交之處——那些極限交點的軌跡——這正是該族似乎朝它「夾擠」的緣由。

一旦留意，包絡線無處不在。你在咖啡杯底看見的明亮尖點光紋（焦散線）是反射光線的包絡線。一條曲線的漸屈線是該曲線法線族的包絡線，把這想法直接連回曲率與曲率中心。噴泉或大砲（固定速率、變化角度）所不能及的那條拋物線安全邊界，是所有拋體軌跡的包絡線。兩點誠實的提醒。其一，包絡線一般「不」是族的成員——它是由族的相切組裝出的另一條曲線，所以別在原曲線中尋找它。其二，F = 0 連同 dF/dc = 0 的代數解集，可能含真正包絡線以外的額外部分（如尖點軌跡或成員的奇異點），故須查驗某候選部分是否真與該族相切，而非方程式的贗象。