切線與半徑垂直

把一顆球滾向牆面，它剛好親到牆的那一點很特別：從球心直直伸到那一點的連線，正對著牆、以直角撞上。圓與它的切線也是如此：切線觸及圓之處，通往該切點的半徑與切線垂直。

精確地說：若一直線在點 T 處與圓相切，則半徑 OT（O 為圓心）在 T 處與切線垂直。原因是切線只在 T 與圓相交，所以 T 是該直線上離 O 最近的唯一點，而從一點到一直線最短的線段就是垂線——故 OT _|_ 切線。逆命題也成立：過圓上一點 T、與半徑 OT 垂直的直線，必為該處的切線。一個有力的伴隨結果——兩切線（切線長相等）定理——隨之而來：從圓外一點 P，畫到圓的兩條切線段等長，PT_1 = PT_2，因為兩個直角三角形 OT_1P 與 OT_2P 共用斜邊 OP 且半徑股相等，故全等。

這些事實在圓的作圖與證明中無所不在：它們讓你能從外點作切線，能證明四邊形恰當其對邊和相等時才有內切圓（皮托定理，借切線長相等），並為弦切角與切割線冪關係鋪路。要先堵住的迷思是：垂直關係是在切線與「通往切點」的半徑之間——而非通往圓上其他某點的半徑。而且切線恰切於一點；過該點沿任何其他方向的直線就會是割線，與圓相交兩次。