橢圓算子（elliptic operator）

拉普拉斯方程說某量恰好等於其鄰居的平均——完美平衡，沒有偏好的方向。橢圓算子是其自然推廣：它仍描述平衡，但介質如今可以是不均勻且依賴方向的。熱在一塊木頭中順著紋理流動可能比橫越紋理容易；橢圓算子捕捉這種各向異性，同時保有拉普拉斯算子那種剛性、平滑化、平衡的特質。

n 個變數中的一般二階算子為 L u = - sum over i,j a_ij(x) u_(x_i x_j) + sum over i b_i(x) u_(x_i) + c(x) u。其主部——最高階的那一塊——是作用在二階導數上的矩陣 a_ij(x)。若在某點 x 該矩陣 a_ij(x) 在此正定，則算子在 x 處為橢圓型：對每個非零方向向量 xi，sum over i,j a_ij(x) xi_i xi_j 嚴格為正。等價地說，符號 sum a_ij xi_i xi_j 對非零 xi 永不為零，故沒有實的特徵方向。拉普拉斯算子本身的 a_ij 就是單位矩陣，是最簡單的正定情形。其定義特徵是幾何的：符號的等位面是橢球，名稱正是由此而來。

橢圓性是平衡方程一切良好性質的代數印記：解由其在整個邊界上的值決定（而非由某一切片上的初始資料決定），解在係數平滑之處皆平滑，且最大值原理成立。它與雙曲型算子（如波動算子）位於光譜的相反兩端——後者沿特徵線以有限速度傳播訊號。橢圓算子沒有可供傳播的特徵線——資訊處處同時被感受到。