散度形式（divergence form）
同一個橢圓算子有兩種寫法，它們看起來幾乎一模一樣，但當係數粗糙時行為大不相同。散度形式把算子寫成通量的散度：L u = - div(A(x) grad u) = - sum over i,j 對 x_i 的偏導數 (a_ij(x) u_(x_j))。它直接對應物理——A grad u 是一個通量（熱、電荷或流體的通量），取其散度並令結果等於源項就是一條守恆律：流進的必等於流出的。
把它與非散度形式 - sum a_ij u_(x_i x_j) 對照，後者的係數位於導數之外。若 A 平滑，兩種形式可互換——只要用乘積法則對乘積微分即可。但若 A 僅是有界可測的（例如在材料界面處跳變），你無法對它微分，便只有散度形式仍有意義。其中的訣竅是散度形式與分部積分完美契合：乘上試驗函數 v、積分，導數便移到 v 上，留下 A grad u dot grad v 的積分。那個對稱的積分正是變分形式背後的雙線性形式，而它從不要求對 A 微分。
這正是為何散度形式是弱解、能量法以及整套變分理論的家園：拉克斯-米爾格拉姆、狄利克雷原理、有限元素皆然。散度形式方程 - div(A grad u) = f 恰好是能量積分 (1/2) A grad u dot grad u 減去 f u 的歐拉-拉格朗日方程。相對地，非散度形式則是最大值原理與逐點估計的自然場域。知道自己處於哪一種形式，就知道該伸手拿哪一個工具箱。
兩塊不同材料的板被黏在一起，故導熱率 a(x) 在接縫處由 1 跳到 5。穩態溫度以散度形式滿足 - (a(x) u')' = f。乘上試驗函數並分部積分得到 a u' v' 的積分 = f v 的積分——從不需要對 a 微分，故跳變不造成任何麻煩。弱解是連續的，其通量 a u' 越過接縫也連續，儘管 u' 本身會跳變。
散度形式能撐過跳變的係數，因為分部積分把導數完全移離 A。
散度形式與非散度形式只有在 A 可微時才給出同一方程。在僅可測的係數下它們是真正不同的問題，有不同的解概念，而著名的德喬治-納什-莫澤正則性定理正是專門針對散度形式情形的陳述。