歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation）
/ OY-ler lah-GRAHNZH /
光走最快的路；肥皂膜取面積最小的形狀；一條懸鏈安頓成位能最低的曲線。大自然滿是被極小化的量。歐拉-拉格朗日方程是這類極小化原理與微分方程之間的通用翻譯：它告訴你，凡是讓某能量積分極小的函數，必滿足一個特定的偏微分方程；反過來，許多偏微分方程其實暗地裡是某個隱藏能量的極小元。
設你想極小化形如 E[u] = 區域上拉格朗日量 L(x, u, grad u) 的積分的能量。在極小元 u 處，用一個小的試驗函數推它一下：把 u 換成 u + epsilon v（v 在邊界上為零），並要求 E 對 epsilon 的導數在 epsilon = 0 處為零——第一變分為零，這是「在極小處令導數為零」的變分版本。展開並分部積分以把導數從 v 上剝離，便剩下「對每個 v，v 乘 (某物) 的積分 = 0」。既然 v 任意，那個某物必逐點為零——而那個某物就是歐拉-拉格朗日方程：- div(L 在 grad-u 槽的梯度) + (L 在 u 槽的導數) = 0。對狄利克雷能量 E[u] = (1/2) |grad u|^2 的積分，這套機制恰好產出 Laplacian u = 0；加上源項 f u 便產出帕松方程。
這就是組織起大片橢圓理論的變分觀點。它把「解這個偏微分方程」變成「極小化這個能量」，後者往往容易得多——你用直接法獵取一個極小元，再讀出它滿足該方程。它是狄利克雷原理（調和函數是狄利克雷能量的極小元）、極小曲面方程（極小化面積）、以及彈性力學與影像處理諸方程背後的引擎。深刻的告誡是：歐拉-拉格朗日方程的解只是能量的臨界點——極小、極大或鞍點——故找到一個臨界點還不等於找到一個極小元，而那道縫隙正是許多微妙之處所在。
在具指定邊界值的函數中，極小化某區域上的狄利克雷能量 E[u] = (1/2) (u_x^2 + u_y^2) 的積分。把 u 換成 u + epsilon v（邊界上 v = 0）；在 epsilon = 0 處的導數是 (u_x v_x + u_y v_y) 的積分。分部積分得到 負的 v (u_xx + u_yy) 的積分。要它對每個 v 皆為零，就需 u_xx + u_yy = 0——極小元是調和的。這就是一行寫成的狄利克雷原理。
令第一變分為零，把『極小化能量』變成『解一個偏微分方程』。
歐拉-拉格朗日方程的解是臨界點，未必是極小元——它可能是鞍點或極大。你只有在驗證一個二階條件（通常是拉格朗日量對梯度的凸性）後，才知道某臨界點是真正的極小。反過來，並非每個偏微分方程都源於某能量；只有那些具正確對稱性的『變分』（散度）形式者，才有歐拉-拉格朗日的出身。