變分法的直接方法（direct method of the calculus of variations）
若一個偏微分方程暗地裡是某能量的歐拉-拉格朗日方程，便有兩條攻法。老路：直接解微分方程。直接方法把這反轉過來——不去解偏微分方程，而是證明能量確實達到其極小值，於是極小元自動滿足該方程。之所以「直接」，是因為它一路徑直奔向極小元，從不沿途碰那個微分方程。
其邏輯抄襲微積分最基本的事實——閉有界區間上的連續函數達到其極小值——並把它提升到無窮多維，那裡它不再是免費的。你取一個極小化序列：能量 E[u_k] 朝下確界遞減的函數 u_k。你想抽出一個本身就是極小元的極限 u。兩項要素使這奏效。第一，強制性：能量必須隨函數增大而無界成長，當 u 的範數趨於無窮時 E[u] 趨於無窮，故極小化序列停留在一個有界集中，並（憑自反索伯列夫空間的弱緊性）有一個弱收斂子序列 u_k 弱收斂到某 u。第二，弱下半連續性：極限的能量不得超過極限能量，E[u] 不大於 E[u_k] 的下極限。合起來：E[u] 不大於 liminf E[u_k] = 下確界，故 u 達到極小。強制性抓住一個候選者；下半連續性為它背書。
這是現代偏微分方程的存在性引擎。它為龐大類別的橢圓問題——包括非線性者——證明解存在，無需任何顯式公式、也無需先建立正則性（正則性隨後由橢圓正則性理論找回）。關鍵的微妙之處是：那個極限只是弱的，而弱極限詭譎難測——弱收斂序列未必逐點收斂，能量可能在極限中漏失，這正是為何下半連續性（而非完全連續性）才是正確而必要的假設。拉格朗日量對梯度的凸性，是下半連續性成立的標準保證。
要證 - Laplacian u = f 有解，別去解它；在邊界上為零的函數空間中極小化 E[u] = ((1/2)|grad u|^2 減去 f u) 的積分。龐加萊不等式使 E 具強制性（它隨 u 的大小成長），而 |grad u|^2 的凸性使 E 弱下半連續。故極小元存在，其歐拉-拉格朗日方程恰是 - Laplacian u = f。存在性贏得了，卻從未寫下一個解。
強制性圈住一個極小化序列；下半連續性讓它的弱極限繼承那個極小值。
此方法證明極小元存在，但本身並不證明它平滑——極小元只以一個弱的索伯列夫函數現身，你需要另外的橢圓正則性才能把它升級為古典解。此外，強制性與弱下半連續性兩者皆不可少：捨去任一，下確界都可能根本達不到（極小化序列可逃向無窮，或振盪而不收斂）。