極小曲面方程（minimal-surface equation）
把一個彎折的鐵絲圈浸入肥皂水再拉出來：橫跨其上的薄膜，在所有能填滿這個圈的曲面中，是面積最小的那一個。大自然瞬間就解出了一個最佳化問題。極小曲面方程，就是這個最小面積曲面必須滿足的偏微分方程——「沒有任何鄰近、邊界相同的曲面面積更小」這句話的精確數學陳述。
把曲面寫成平面上某區域之上的圖形 z = u(x, y)。它的面積是 integral of sqrt(1 + |grad u|^2)。極小化這個面積泛函、計算其歐拉-拉格朗日方程，便得到極小曲面方程：div( grad u / sqrt(1 + |grad u|^2) ) = 0。把它攤開來，這說的是該圖形的平均曲率處處為零——曲面在某一方向向上彎多少，就在垂直方向向下彎多少，所以肥皂膜是鞍形的，絕不是圓頂形的（圓頂有非零的平均曲率，且能縮小自身面積）。它是一個擬線性橢圓方程：主係數透過那個平方根分母而依賴於 grad u。對近乎平坦的曲面（|grad u| 小），分母約為 1，方程近似於拉普拉斯方程 Laplacian u = 0——極小曲面是調和函數真正的非線性表親，兩者在小斜率極限下重合。
為什麼重要？它是變分法與幾何偏微分方程的奠基範例，是整個「幾何如何極小化面積或能量」研究的原型。它的解有著名的剛性：Bernstein 定理說，整個平面上的一個整體極小圖形必定是一個平面（一個驚人的唯一性結果，它在足夠高的維度會失效——誠實地說：它在直到第 8 維都成立，然後就破裂，這是幾何學的一大驚奇）。而它是靜態的平衡圖像，其含時的夥伴是平均曲率流：一個非極小曲面演化以縮減面積時，便依平均曲率流移動，而若它安定下來，便安定到一個極小曲面之上。
懸鏈面（把懸鏈曲線繞一軸旋轉所得的曲面）與螺旋面（一道螺旋斜坡）是經典的極小曲面——橫跨適當鐵絲框的肥皂膜。兩者都滿足 div(grad u / sqrt(1 + |grad u|^2)) = 0，且兩者在每一點都是鞍形的，向上與向下彎曲得一樣多，故其平均曲率處處恰為零。
零平均曲率：對其邊界而言面積最小的肥皂膜。
「極小」意指對面積而言是駐定的（零平均曲率），未必是全局面積最小——極小曲面是面積的臨界點，而如同任何臨界點，它可能是鞍點而非真正的極小。此外，它「只」在小斜率近似下化約為拉普拉斯方程；一般而言它是真正非線性的。