零化子对偶定理

零化子对偶定理是说，取两次零化子会回到出发点：对有限维 V 的子空间 U，有 (U^0)^0 = U——只要把第二个零化子放在典范等同 V = (V*)* 之内来读。先零化、再零化，就是子空间上的恒等。

它依赖两个事实。其一，把维数计数 dim U + dim U^0 = dim V 用两次，得 dim (U^0)^0 = dim U。其二，U 总是包含在 (U^0)^0 之中（U 里的任何元素都被一切杀死 U 的东西所杀死）。维数相等再加这一个包含，便迫使相等，于是恰有 (U^0)^0 = U。

从结构上读，映射 U -> U^0 是 V 的子空间与 V* 的子空间之间一个反序的双射，且它是自己的逆。若 U 含于 W，则 W^0 含于 U^0；这个对应翻转包含关系，并在两个方向上都完美无缺。这带有伽罗瓦联络的味道：一对反序映射，复合起来即恒等。

在实用上这意味着子空间信息在对偶世界里毫无损失：你既可以列出张成它的向量来指定一个子空间，也可以列出切出它的约束（泛函）来指定它，而双重零化子定理保证这两种描述等价、且能彼此还原。这一等价正是在子空间的张成描述与方程描述之间往返的脊梁。