商空间的对偶

在取对偶下，商与子空间互换位置，而商空间的对偶是最干净的例子。商空间 V/U 把子空间 U 压成零；因此 V/U 上的泛函恰是 V 上一开始就“看不见 U”的泛函——也就是在 U 上取零的那些。于是 (V/U)* 自然地等同于零化子 U^0。

其缘由是商的泛性质。V/U 上的泛函 g 对应于 V 上满足对所有 u in U 有 f(u) = 0 的泛函 f（f 经由商分解）。把 g 与那个 f 配对是一个尊重加法与缩放的双射，故为同构 (V/U)* = U^0。无需任何基；它是典范的。

子空间也有一个对偶搭档：子空间 U 的对偶是 V*/U^0，即 U* = V*/U^0。把泛函限制到 U 上是满射，其核恰是 U^0，于是第一同构定理给出 U* = V* / U^0。所以对偶互换了“子”与“商”：商的对偶是（对偶的）子空间，子的对偶是商空间。

计数印证了这幅图景：dim(V/U) = dim V - dim U 与 dim U^0 = dim V - dim U 一致，对同构而言本就该如此。这种子-商互换是本主题中最有用的结构性反射之一——每当某个构造作商时，就预期它的对偶会限制到一个子空间，反之亦然。