狄利克雷单位定理

在普通整数中，唯一具有仍为整数的乘法逆元的数只有 +1 与 -1——一个微小乏味的单位群。在一般的整数环中，单位可以丰富得多：可能有无穷多个，就像佩尔方程的基本解，你可把它升到任意次幂。狄利克雷定理用数域的形状精确给出它有多丰富。

设 K 是数域，有 r_1 个实嵌入与 r_2 对复嵌入，故 [K : Q] = r_1 + 2 r_2。定理断言 O_K 的单位群同构于（K 中单位根构成的有限循环群）乘以 Z^{r_1 + r_2 - 1}。换言之：模去单位根后，单位构成秩为 r = r_1 + r_2 - 1 的自由阿贝尔群。

证明把单位经由其对数嵌入到 R^{r_1 + r_2} 中的一个超平面里，并证明其像是一个满秩格——单位群在挠之外就是一个格。该格的余体积即调节子，一个度量单位“密度”的实数，它与类数一道出现在解析类数公式中。