迪尼定理

通常逐点收敛太弱，不足以一致——但若你用足够好的结构去配牌，逐点收敛便能免费升级为一致。迪尼定理指出了这样一个干净的情形：紧集上一列单调的连续函数，逐点收敛到一个连续的极限。在这四个条件下，收敛自动是一致的。

定理：设 K 紧，f_n 在 K 上连续，设 f_n 逐点收敛到 f 且 f 连续，并设序列在每一点处关于 n 单调（要么对每个 x，f_n(x) 递增趋于 f(x)，要么递减趋于它）。则 f_n 在 K 上一致收敛到 f。等价地，“误差”函数 g_n = |f_n - f| 逐点单调递减到 0，而在紧集上，逐点趋于 0 的递减连续函数序列必一致趋于 0。

每一个假设都确实不可少。去掉紧性，[0,1) 上的 x^n 逐点递减到 0 却不一致。去掉极限的连续性，[0,1] 上的 x^n 单调而极限不连续，仍不一致。去掉单调性，平移凸包之类的例子便失效。证明用开覆盖论证：对每个 epsilon，使 g_n < epsilon 成立的集最终覆盖 K，由紧性抽取出一个处处奏效的有限阶段。