等度連續（equicontinuity）

單一連續函數承諾：輸入的微小移動造成輸出的微小移動。等度連續是整個函數族用一條共同規則同時做出的同一承諾。它是阻止一列函數隨著進行而暗中變得愈來愈陡的條件——擺動在整個族中被一致地約束，而這正是抽出收斂子序列所需要的。

嚴格地說，集合上的函數族 F 在點 x_0 等度連續，是指對每個誤差容限 epsilon > 0，存在單一的距離 delta > 0——對 F 中每個 f 都是同一個 delta——使得 |x - x_0| < delta 保證族中每個 f 都有 |f(x) - f(x_0)| < epsilon。若有一個 delta 在每一點都有效（常透過共同的利普希茨界），則該族一致等度連續。對比普通連續：每個函數各有自己的 delta，而那個 delta 可以在掃過整個族時縮小到無。等度連續的力量就在「同一個」這個詞：一個 delta 必須服務所有人。一個乾淨的充分條件：若所有 f 的導數有共同界 |f'| <= L，則對它們全體 |f(x) - f(y)| <= L|x - y|，故單一的 delta = epsilon/L 有效——導數有界的族是等度連續的。

等度連續是阿爾澤拉-阿斯科利定理微妙的那一半，因而是每個正規族論證中隱藏的成分。在複分析中你幾乎從不親手檢驗它：柯西估計把全純函數大小的界直接轉成它們導數的界，從而自動交出等度連續——這正是使蒙泰爾定理運作的步驟。誠實的提醒：一個族可以逐點有界且每個成員連續，卻不等度連續（想像愈長愈陡的隆起），那時就未必存在收斂子序列。緊性要求的是等度連續，而非僅僅各別的連續。