蒙泰爾定理（Montel's theorem）
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蒙泰爾定理是開啟正規族的實用鑰匙。直接驗證正規族的定義——「每個序列都有局部一致收斂的子序列」——聽來困難，因為你得親手造出子序列。蒙泰爾定理交給你一個簡單、可檢驗的條件，替你完成所有工作：若一族全純函數在定義域的每個緊部分上一致有界，則它自動是正規的。光是有界就買來了緊性。
嚴格地說：開區域 D 上的全純函數族 F 若局部有界——意即對每個緊子集 K，存在單一常數 M 使得對所有 z 屬於 K 與所有 f 屬於 F 都有 |f(z)| <= M——則 F 是正規族。證明是柯西與阿爾澤拉-阿斯科利的聯姻。柯西積分公式把 |f| 的界轉成稍小集合上 |f'| 的界：若在半徑 R 的圓盤上 |f| <= M，則附近 |f'| <= M/R。導數的一致界意味著函數無法擺動得太快，這恰好是等度連續。有了局部有界加等度連續，阿爾澤拉-阿斯科利定理交出局部一致收斂的子序列，魏爾斯特拉斯定理保證其極限全純。於是鏈條為：值有界 -> 導數有界 -> 等度連續 -> 緊性。
這個版本在共形映射中反覆使用：黎曼映射定理中的候選映射全都落在單位圓盤裡，故被 1 所界，因而免費地構成正規族。還有一個遠為深刻的親戚——「基本正規性判別法」——它僅憑「省略兩個值」而非數值界就得到正規性。誠實的提醒：蒙泰爾定理是全純現象。同樣的敘述對任意光滑或連續函數是假的；正是全純的剛性（透過柯西估計）把對大小的界轉換成對所有導數的掌控，這才使緊性浮現。
考慮族 F = { 在單位圓盤上全純且對所有 z 有 |f(z)| <= 5 的 f }。在較小的圓盤 |z| <= 1/2 上，柯西估計給出對每個 F 中的 f 都有 |f'(z)| <= 5 / (1/2) = 10。這個一致的導數界迫使等度連續，故由蒙泰爾定理，F 中任何序列都有局部一致收斂的子序列。
值的一致界透過柯西產生導數的一致界，因而等度連續，因而正規。
局部有界對正規性是充分但非必要——一個族可以正規卻無界（例如允許極限無窮的情形）。該定理在全純之外失效：有界的連續函數未必等度連續。