阿爾澤拉-阿斯科利定理（Arzelà-Ascoli theorem）
/ ar-dze-LAH a-SKO-lee /
一群函數何時是緊的——也就是說，何時你總能從其中任何序列抽出一致收斂的子序列？對普通的數，波爾查諾-魏爾斯特拉斯用一個詞回答：有界。對函數則需要兩個詞，因為一個函數可以保持有界卻擺動得愈來愈快而拒絕安頓。阿爾澤拉-阿斯科利定理指出拯救緊性的確切兩個條件：函數必須有界，且不能以協調一致的方式變化得太快（等度連續）。
嚴格地說：緊集 K 上的連續函數族在一致（上確界）範數下是相對緊的——每個序列都有一致收斂的子序列——若且唯若它一致有界且等度連續。一致有界意味著單一的數 M 封頂 K 上每個 |f|。等度連續意味著單一的連續模對整個族都有效：對每個誤差 epsilon，存在單一的距離 delta，使得 |x - y| < delta 同時迫使族中每個 f 都有 |f(x) - f(y)| < epsilon。證明在可數稠密點集上用對角線論證造出子序列，再用等度連續把那些點上的逐點收斂升級為 K 上處處的一致收斂。
在複分析中，這是蒙泰爾定理的抽象核心。全純的場景幾乎免費地供給這兩個假設：局部有界是被假定的，而柯西估計把它轉成導數界，那正是等度連續。所以「有界的全純族 -> 正規」其實就是「阿爾澤拉-阿斯科利，其中等度連續由柯西供給」。誠實的提醒：等度連續確實必要，且是微妙的那一半。序列 f_n(x) = x^n 在 [0,1] 上一致有界卻不等度連續，而它確實沒有一致收斂的子序列（其逐點極限不連續）。光是有界對函數緊性永遠不夠。
在 [0,1] 上，序列 f_n(x) = x^n 一致有界（|f_n| <= 1）卻不等度連續：在 x = 1 附近函數無限制地變陡。因此阿爾澤拉-阿斯科利不適用，而確實沒有子序列一致收斂——逐點極限在 x = 1 處由 0 跳到 1。加上對 f_n' 的一致界（比如 |f_n'| <= 3）會恢復等度連續，因而恢復緊性。
有界但不等度連續：x^n 說明為何光是有界對函數緊性不夠。
這兩個假設是獨立的：等度連續控制變化率，有界控制大小。兩者皆不可或缺；去掉任一個結論都可能失效。在全純情形下，柯西估計自動供給等度連續。