一致連續（uniform continuity）

普通連續是一個局部的承諾：在每一點 z_0，給定容許誤差 epsilon，你都能找到某個可用的 delta——但這 delta 被允許依賴於你身處哪一點 z_0，而且當你走進壞區域時它可能不得不縮小。一致連續是更強的、整體的承諾：單一個 delta 同時對每一點都有效：給定 epsilon，存在一個 delta，使得 |z - z'| < delta 迫使 |f(z) - f(z')| < epsilon 對集合中所有點對 z, z' 都成立，無論它們在哪裡。

這差別是真實的、值得親身體會。函數 f(z) = 1/z 在去心圓盤 0 < |z| <= 1 上每一點都連續，但在原點附近，極小的輸入變化會讓輸出劇烈擺盪，所以你需要的 delta 不斷縮小，沒有單一 delta 能服務整個集合——它連續卻不一致連續。對照 f(z) = z^2 在閉單位圓盤上，單一個 delta 確實到處都能控制變化。

招牌定理把這接回緊緻性：緊（閉且有界）集上的連續函數自動一致連續。所以在閉圓盤、閉矩形或任何圍道上，連續免費升級為一致連續。這很重要，因為一致連續正是讓積分行為良好所需的強度——以保證的誤差用黎曼和逼近圍道積分，並在日後正當化交換極限與積分。