圍道積分（contour integral）
在普通微積分中，你在實數線的一段區間上對函數積分。在複分析裡，定義域是整個平面，因此沒有單一的「區間」可供積分——你必須選定一條路徑。圍道積分把複變函數 f(z) 的值沿著平面上選定的路徑累加起來，當點 z 沿路徑前進時，每一小步都以複位移 dz 加權。它回答的問題是：當我沿著這條特定曲線行走並觀察 f，最終累積出什麼？
它實際的運作方式如下。選一條路徑 C，用參數化 z(t) 描述它，t 從 a 到 b，使得 z(a) 為起點、z(b) 為終點。則 f 沿 C 的圍道積分等於從 a 到 b 對 f(z(t)) 乘以 z'(t) dt 的普通積分。因子 z'(t) dt 正是用參數寫出的 dz——它同時帶有你移動的快慢與方向。具體而言，要把 f(z) = 1/z 沿單位圓逆時針積分一圈，令 z(t) = e^(i t)，t 從 0 到 2 pi；則 dz = i e^(i t) dt，被積式變為 (1/e^(i t)) 乘以 i e^(i t) dt = i dt，積分結果為 2 pi i。
圍道積分是整個學科據以建立的單一對象。柯西定理、積分公式、留數——它們全都是關於這種積分等於什麼的陳述。前方潛藏著一個關鍵驚喜：對於解析的 f，答案往往不取決於你在兩點之間走哪條路，只取決於端點，而繞封閉迴路一圈時往往恰好為零。正是這種對路徑近乎神奇的不敏感性，使複分析如此強大。
把 f(z) = z 沿從 0 到 1 + i 的直線段積分。參數化 z(t) = t(1 + i)，t 從 0 到 1，故 z'(t) = 1 + i。積分為從 0 到 1 對 t(1+i) 乘以 (1+i) dt = (1+i)^2 乘以 t dt 的積分 = (1+i)^2 乘以 (1/2) = (2i)/2 = i。
藉由參數化路徑並對 z'(t) dt 積分而算出的圍道積分。
同一條定向曲線的兩種不同參數化會給出相同的值——積分取決於路徑及其方向，而非你沿途計時的方式。