局部有界族（locally bounded family）

局部有界族是一群函數，雖然它未必在整個定義域上共用一個天花板，卻在每個緊（有界閉）的內部部分上共用一個天花板。想像一個定義域，其上的函數可能朝邊界衝高——這是允許的——只要在任何固定的內部小塊上，族中所有函數都待在同一根橫桿之下。這是驅動蒙泰爾定理的精確假設。

嚴格地說，開區域 D 上的函數族 F 是局部有界的，若對 D 的每個緊子集 K，存在單一常數 M（可依賴 K，但不依賴函數），使得對所有 z 屬於 K 與所有 f 屬於 F 都有 |f(z)| <= M。決定性的特徵是：在每個緊集上，這個界對整個族是一致的：對所有人是同一個 M，而非每個函數各有一個界。等價地說，D 的每一點都有一個鄰域，使得 F 的所有函數在其上同時有界。注意它與「整體有界」（對整個 D 只有一個 M）的對比：局部有界較弱也常見得多，因為它容忍在 D 邊緣附近的爆增。

這是蒙泰爾定理的輸入：全純函數的局部有界族是正規的。局部有界之所以是正確的假設，是因為對全純函數而言，柯西估計把圓盤上 |f| 的界升級為稍小圓盤上 |f'| 的界，而導數的一致界就是等度連續——直接餵入阿爾澤拉-阿斯科利。誠實的提醒：對一般連續函數，局部有界並不蘊含正規（你還需要等度連續，而它可能失效）。「局部有界 -> 正規」這個蘊含是全純所特有的，因為在那裡導數被函數的大小所控制。