連續狀態分支與 Lamperti 變換（continuous-state branching and the Lamperti transform）
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在巨大規模的極限下，當整數計數變成連續體時，分支族群是什麼？連續狀態分支過程（CSBP）就是答案：一個非負實值馬可夫過程 X_t，它是高爾頓-沃森過程的尺度極限，刻畫一個會分支的「質量」。它的定義性質是分支性質——從質量 x + y 出發，過程是從 x 與從 y 出發的兩過程之獨立和——並把整套分支三分法帶入連續體。Lamperti 變換是揭示 CSBP 其實是偽裝之李維過程的神奇時間變換。
CSBP 由其分支機制 psi 刻畫，這是一個 Levy-Khintchine 型的函數：psi(u) = b u + (1/2) c u^2 + integral_(0,infinity) (e^(-u r) - 1 + u r 1_{r<1}) Pi(dr)，其中 c >= 0 是高斯（連續分支）係數，Pi 是 (0, infinity) 上控制大繁殖跳躍的測度。X_t 的拉普拉斯變換滿足 E[exp(-u X_t) | X_0 = x] = exp(-x v_t(u))，其中 v_t 解常微分方程 dv_t/dt = -psi(v_t)——這是迭代生成函數的連續類比。Lamperti 定理是其結構瑰寶：每個機制為 psi 的 CSBP 都能由一個譜正李維過程 Y（一個無負跳躍的李維過程，其拉普拉斯指數為 psi）經由隨機時間變換得到。具體地，若運行 Y 並以「已歷族群之積分」重新參數化時間，則 X_t = Y_(theta_t)，其中 theta_t = integral_0^t X_s ds 是累積族群時鐘；等價地，X 是由 Y 驅動、在 0 處停止的時間變換方程之唯一解。所以分支質量與譜正李維過程，是同一對象在兩種時鐘下的呈現。
重要性：Lamperti 對應把困難的分支問題化為李維過程問題，後者可運用整套漲落理論——滅絕機率成為 Y 首達零的機率，而存活／滅絕二分法可由 psi'(0+)（馬爾薩斯速率）的符號讀出。CSBP 是譜系聚合過程在族群側的對應物（機制 psi(u) = c u^2 /2 的 Feller 擴散是臨界高爾頓-沃森的尺度極限，也是 Kingman 聚合過程對偶的質量過程）。一個誠實的提醒：對應要求李維過程是譜正的（無負跳躍）——族群可因一次大型生育事件而向上躍升，但質量只能連續減少，從不向下跳，這正是對偶李維過程具單側跳躍的原因。機制為 alpha-穩定 psi(u) = c u^alpha（1 < alpha <= 2）的 CSBP 是典型的重繁殖範例，並在譜系側連結到 Lambda-聚合過程。
Feller 擴散 dX = sqrt(c X) dB 的分支機制為 psi(u) = (c/2) u^2；它是「子代變異數有限」之臨界高爾頓-沃森的尺度極限。由 Lamperti，它是一個時間變換的布朗運動（一個只含高斯部分的譜正「李維過程」），在 0 處被吸收，有限時間內滅絕必然——這是臨界滅絕在連續體中的回響。
Lamperti：CSBP 是一個在時鐘 theta_t = 族群積分上運行的譜正李維過程。
Lamperti 時間變換把 CSBP 連結到一個「譜正」李維過程（無負跳躍）：族群質量在生育事件時向上跳，但只連續地減少。別期待雙側李維過程——單側性是結構性的。