連續時間馬可夫分支（continuous-time Markov branching）

高爾頓-沃森過程以離散世代推進，但真實族群在連續時間中繁殖：個體擁有指數分布的壽命，死亡時被隨機數目的子代取代。連續時間馬可夫分支過程是其自然的連續時間類比，而最簡單也最重要的特例是線性生滅過程，其中每個個體獨立地以速率 lambda 生育、以速率 mu 死亡。

每個個體存活一個 Exponential(a) 的時間，獨立於其他所有個體，並在其生命終點以機率 p_k 產生 k 個子代（故 a 是總事件速率，子代分布 (p_k) 主宰每次分支事件發生什麼）。因為壽命無記憶，總族群 Z_t 是非負整數上的連續時間馬可夫鏈，以 0 為吸收態。其生成函數 F(t, s) = E[s^(Z_t)] 解非線性的後向 Kolmogorov 方程 dF/dt = u(F)，其中 u(s) = a (f(s) - s) 是分支機制（branching mechanism），f 是子代機率生成函數；這是離散複合律的連續時間影子。平均指數成長，E[Z_t] = e^(alpha t)，馬爾薩斯參數 alpha = a (m - 1) = u'(1)，三分法讀作 alpha < 0（次臨界）、alpha = 0（臨界）、alpha > 0（超臨界）。對純線性生滅過程（每個個體生育率 lambda、死亡率 mu）可顯式求解：滅絕機率為 min(1, mu/lambda)，E[Z_t] = e^((lambda - mu) t)，而在存活條件下族群以幾何方式成長，並有顯式的極限分布。

重要性：連續時間分支是流行病學（爆發的早期階段是生滅分支過程，R_0 = lambda/mu）、族群遺傳學、排隊論（M/M/infinity 及相關系統）、以及克隆細胞族群與腫瘤動力學中隨機模型的骨幹。它也是經由尺度極限通往連續狀態分支的橋樑。誠實的提醒：指數壽命是理想化——一般的壽命分布給出更具彈性卻更難的 Crump-Mode-Jagers（一般分支）過程，後者就族群計數本身已非馬可夫；而若生育率隨族群成長過快，可能發生爆炸（有限時間內無窮多次出生），標準線性模型藉由維持人均速率恒定來排除此情形。