生死過程（birth-death process）

生死過程是定義在整數（或 {0,1,2,...}）上、只能跳到相鄰狀態的連續時間馬可夫鏈：上升一（「出生」）或下降一（「死亡」）。它是 CTMC 中最重要、可顯式求解的一族，是族群大小、佇列長度、以及任何以單位變化之量的模型，也是讓每個一般 CTMC 概念（停留時間、平衡、爆炸、可逆性）化為具體公式的試金石。

在狀態空間 {0,1,2,...} 上，生成元滿足 q_{n,n+1} = lambda_n（出生率）、q_{n,n-1} = mu_n（死亡率，mu_0 = 0），且 q_n = lambda_n + mu_n。在 n 的停留時間服從指數(lambda_n + mu_n)；跳躍鏈是最近鄰隨機遊走，以機率 lambda_n/(lambda_n+mu_n) 上升。由於跳躍為最近鄰，鏈自動可逆，故細緻平衡以閉式乘積形式給出平穩分配 pi(n) 正比於 prod_{k=1}^n (lambda_{k-1}/mu_k)，它恰在此級數可加總（正常返條件）時為機率分配。數個經典過程是其特例：卜瓦松過程（mu_n = 0，lambda_n = lambda 常數）、尤爾純出生過程（lambda_n = n*lambda）、線性生死過程（lambda_n = n*lambda、mu_n = n*mu，模型化分支族群），以及 M/M/1 與 M/M/c 佇列（常數或封頂速率）。

生死過程之所以核心，是因為其三對角結構使幾乎一切皆可計算：平穩分配、期望首達與滅絕時間（解二階遞迴）、以及爆炸（純出生判準 sum 1/lambda_n = 無窮為非爆炸）。誠實的告誡正是此處具體化的一般 CTMC 告誡：線性生死族群即使平均出生多於死亡，仍可能以正機率滅絕（在 0 被吸收），而 lambda_n 快速增長的純出生過程在有限時間內爆炸。可逆性是最近鄰結構特有的——加入一個跳過某狀態的跳躍，一般就失去細緻平衡。