傑克森網路（Jackson network）
/ JAK-suhn /
傑克森網路是一個由相互連接的佇列——顧客在其間移動的服務站——所構成的網路，建模為單一的大型連續時間馬可夫鏈。它是排隊網路理論的奠基結果：儘管各站相互耦合（一站的輸出餵入其他站的輸入），其平衡分配卻彷彿各佇列獨立般分解。這種「乘積形式」使大型網路變得易處理，並是一整族乘積形式結果的原型。
考慮 J 個單伺服器站（開放網路）。顧客自外部以速率 r_i 的卜瓦松流到達站 i，站 i 以速率 mu_i 服務，在 i 完成服務的顧客以機率 P_ij 路由到站 j，或以機率 1 - sum_j P_ij 離開網路。狀態是佇列長度向量 n = (n_1, ..., n_J)，動態是一個 CTMC。先求解每站總到達率的流量方程：a_i = r_i + sum_j a_j P_ji，它只是說總流入等於自生流量加上路由進來的流量。設 rho_i = a_i / mu_i。傑克森定理陳述：若每個 rho_i < 1，網路正常返，且其平穩分配是乘積 pi(n) = prod_i (1 - rho_i) rho_i^{n_i}——在平衡時每站的行為恰如一個負載為 rho_i 的獨立 M/M/1 佇列。值得注意的是，即使內部流並非卜瓦松、且在動態中固定時刻的佇列長度其實並不獨立，此結果仍成立；乘積形式僅是關於平穩律的陳述。
傑克森網路支撐著電腦系統、通訊網路、製造線、以及任何路由流系統的分析；乘積形式讓你幾乎能獨立地為每站定容量。誠實的告誡很明確。此結果需要每站皆滿足 rho_i < 1 的穩定條件（一個瓶頸便使整個網路失穩）。乘積形式並不意味各站是獨立過程——只有平衡邊際才分解；內部到達流一般並非卜瓦松（伯克定理為單一 M/M/1 的離開流與前饋網路挽回卜瓦松性，但回饋會破壞它）。乘積形式是指數服務與馬可夫路由假設的微妙結果，可由準可逆性在更深層解釋；改變服務分配或加入狀態相依的路由，它便可能失效。
兩站串聯：外部卜瓦松(r) 進入站 1，所有離開者路由到站 2，再離開。流量方程給出 a_1 = r、a_2 = r；當 rho_i = r/mu_i < 1 時，平穩律為 pi(n_1, n_2) = (1-rho_1) rho_1^{n_1} * (1-rho_2) rho_2^{n_2}——兩個獨立幾何分配之乘積。
傑克森乘積形式：在平衡時，一個耦合佇列的網路分解為獨立的 M/M/1 邊際。
乘積形式僅關乎平穩分配——各站並非獨立過程，內部流一般也非卜瓦松。此結果需要每站 rho_i < 1，以及指數服務／馬可夫路由的假設；它由準可逆性所解釋並劃定界限。