高爾頓-沃森過程（Galton-Watson process）
/ GAWL-ton WOT-son /
高爾頓-沃森過程是繁殖族群最簡單的數學模型，也是分支過程理論的歷史發源地。它最初是為了回答一個維多利亞時代的問題——為何貴族姓氏會絕嗣？——而答案竟取決於單一一個數：每個個體的平均子代數。從第 0 代的一位祖先開始。每個個體都獨立於他人、也獨立於過去，依一個固定的子代分布（offspring distribution）產生隨機數目的子女；這些子女構成下一代。過程 Z_n 即第 n 代的總族群大小。
形式上，固定非負整數上的一個機率分布 (p_k){k>=0}，即子代分布，其平均為 m = sum_k k p_k。令 {X(n,i)} 為此分布的獨立副本，X(n,i) 是第 n 代第 i 個個體的子女數。則 Z_0 = 1 且 Z_(n+1) = sum_(i=1)^(Z_n) X(n,i)，空和（當 Z_n = 0 時）取為 0。這使得 (Z_n) 成為 {0, 1, 2, ...} 上的時齊馬可夫鏈，其中 0 是吸收態（滅絕）：族群一旦死去就永遠死去。關鍵的結構事實由對 Z_n 取條件即可得到：平均以幾何方式成長，E[Z_n] = m^n，而整套理論都圍繞 m 小於、等於、或大於 1 來組織。
重要性：高爾頓-沃森過程是其後一切分支模型——多型、連續時間、連續狀態、空間型——的原型，其作為啟發式工具的用途遠超出人口學。稀疏隨機圖的局部結構（Erdos-Renyi 圖 G(n, c/n) 中某頂點的鄰域）看起來就像一棵子代為 Poisson(c) 的高爾頓-沃森樹，這正是為何巨大連通分量（giant component）的門檻恰落在平均度數為 1 之處。其前提假設是實實在在的：子代數須在個體間與世代間獨立同分布，沒有交互作用、沒有承載量、也沒有移入。一旦放棄獨立性或加入密度相依，便離開了高爾頓-沃森的世界。
設每個個體以機率 1/2 有 0 個子女、以機率 1/2 有 2 個子女，故 m = 1（臨界）。從一位祖先開始，族群其實是一個偽裝的公平隨機漫步：它要嘛迅速消亡、要嘛成長，雖然對所有 n 都有 E[Z_n] = 1，滅絕卻必然發生。相對地，m = 1.1（每個個體平均有 1.1 個子代）則給出無限存活的正機率。
一位祖先、獨立同分布的子代、無交互作用：存活與否僅由平均 m 決定。
確定性的平均 E[Z_n] = m^n 是個危險的指引：臨界過程對所有 n 都有 E[Z_n] = 1，卻以機率一滅絕。在臨界處，平均與幾乎必然行為劇烈分歧。