子代生成函數（offspring generating function）
子代生成函數是把高爾頓-沃森過程從文字描述轉化為計算的代數引擎。分支過程之所以如此易於處理，深層原因在於：世代的疊加對應於一個固定函數的複合。只要能寫下子代分布的生成函數，原則上就能透過迭代它，讀出滅絕機率、成長率，乃至每一代族群的整個分布。
對子代分布 (p_k){k>=0}，定義機率生成函數 f(s) = E[s^X] = sum_(k>=0) p_k s^k，s in [0, 1]。它遞增、凸，且 f(1) = 1、f'(1) = m，即平均子代數（在有限時）。核心恒等式是複合律：若 f_n(s) = E[s^(Z_n)] 是第 n 代的生成函數（從一位祖先出發），則 f_n 是 f 與自身的 n 重複合，f_n = f o f o ... o f（n 次）。這是因為第 n+1 代的族群是 Z_n 個獨立子族群之和，每個子族群由第 n 代的一個個體啟動；獨立隨機變數相加會使生成函數相乘，而對被加項的個數做隨機化則使它們複合。於是 Z_n 的整個分布律都被「迭代區間 [0, 1] 上的一個映射」所編碼。
重要性：這單一事實把一個跨世代的隨機問題化約為一維映射的動力學，是自相似機率結構最乾淨的範例。滅絕機率是 f 的最小不動點；平均成長依鏈鎖律為 f'(1)^n；而 Kesten-Stigum 與 Yaglom 極限定理，歸根究柢都是關於迭代 f_n 在其不動點附近的陳述。一個提醒：生成函數唯一決定非負整數上的分布，但它在 1 處的導數只有在相應動差有限時才給出動差——f'(1) = infinity 標誌一個無窮平均（且在精神上通常為超臨界）的過程，此時標準的 m-分類須謹慎處理。
對「失敗型幾何」子代分布 p_k = (1-p) p^k，生成函數為 f(s) = (1-p)/(1 - p s)，這是一個莫比烏斯（分式線性）映射。莫比烏斯映射複合得很俐落，故 f_n 仍是分式線性，於是可寫出 Z_n 的精確分布閉式——這種難得的便利使它成為教科書範例。
世代以函數複合：f_n 是 f 與自身複合 n 次。
機率生成函數唯一決定整數分布，但 f'(1) 等於平均「僅當」平均有限時成立；對重尾子代，f'(1) = infinity，此時常用的以平均為準的分類須小心處理。