高爾頓-沃森樹（Galton-Watson tree）

高爾頓-沃森過程數每一代有多少個體存活，卻遺忘了家族結構——誰是誰的子女。高爾頓-沃森樹恢復了這個結構：它是完整的隨機譜系樹，一棵有根樹，其根是祖先，每個個體依子代分布有隨機數目的子女。把注意力從族群計數 Z_n 轉移到整棵樹，是開啟現代最深刻結果之門的一步，因為樹攜帶著（高度、輪廓、子樹形狀）僅看計數所不可見的資訊。

形式上，子代分布為 (p_k) 的（平面、有根）高爾頓-沃森樹 T，是這樣的隨機樹：根有 Offspring(p) 個子女，每個子女獨立地有 Offspring(p) 個子女，依此類推；樹有限當且僅當過程滅絕。其關鍵統計量：頂點總數 |T|（總後裔）的生成函數解 Lagrange／Otter-Dwass 方程——對臨界或次臨界樹，P(|T| = n) 由循環引理（cycle lemma）精確給出，P(|T| = n) = (1/n) P(X_1 + ... + X_n = n - 1)，其中 X_i 是獨立同分布的子代。高度（最深頂點的深度）與寬度也有豐富的極限律。一個核心編碼是輪廓（contour）或深度優先漫步：以深度優先遍歷樹並記錄當前頂點的高度，產生一條路徑，對「子代有限變異數、被條件為很大」的臨界樹，此路徑（經尺度化後）成為一個布朗漂程（Brownian excursion）。把高爾頓-沃森樹條件為恰有 n 個頂點，對許多子代分布（位於高斯吸引域者——等價於簡單生成／條件 GW 樹）給出單一的普適尺度極限。

重要性：高爾頓-沃森樹是隨機樹的模型，而條件版本等價於均勻隨機標號樹、隨機平面樹、以及稀疏隨機圖的核——輪廓漫步編碼是這些等價性的技術核心。誠實的內涵在於條件與動差假設的角色：未條件的臨界樹幾乎必然有限，但大小隨機；優美的尺度極限（連續隨機樹）唯有在「條件為大小 n 並把距離以 sqrt(n) 重新尺度化」之後才浮現，且僅對子代變異數有限的分布——重尾子代給出具不同碎形維度的穩定樹。樹與其輪廓是不同的對象：勿把譜系高度與輪廓過程的時間指標混淆。