雅格洛姆定理（Yaglom's theorem）
/ YAH-glom /
若分支族群註定滅絕——臨界與次臨界情形皆如此——即使過程不再存活，一個自然的問題仍然存活：在「血脈到第 n 代仍存活」的條件下，它有多大？雅格洛姆定理藉由描述「以非滅絕為條件」的族群大小極限分布來回答此問。它揭示出一個乾淨的普適形狀，藏在那些無條件下只會消失的過程之中。
臨界情形（m = 1，子代變異數 sigma^2 > 0 有限）：在存活條件下，族群的量級為 n。精確地，Z_n / n 在 {Z_n > 0} 條件下的分布收斂到平均為 sigma^2 / 2 的指數分布；等價地，Z_n / n 依分布收斂到 Exponential(2 / sigma^2)。這與存活漸近 P(Z_n > 0) 約 2 / (sigma^2 n) 相配：臨界血脈以量級 1/n 的機率存活到第 n 代，若存活，則攜帶量級為 n 的個體。次臨界情形（m < 1）：在存活條件下，族群大小「不」成長——Z_n 在 {Z_n > 0} 條件下依分布收斂到正整數上一個真正（非退化、有限）的隨機變數，即 Yaglom 準平穩律，其生成函數由子代分布決定；存活機率以 c m^n 幾何衰減。證明分析生成函數迭代 f_n 在不動點 s = 1 附近的行為，f 的凸性在此控制趨近的速率。
重要性：雅格洛姆定理是準平穩性（quasi-stationarity）的基礎——亦即「註定滅絕的族群，在其不可避免的死亡之前觀之，會穩定到一個固定的條件輪廓」這個想法。它支撐了瀕危族群模型、亞穩的化學與流行病系統，以及臨界樹的分析（量級為 n 的條件臨界樹，尺度化收斂到 Aldous 的連續隨機樹）。誠實的微妙處：臨界情形的指數極限需要子代變異數有限（重尾的臨界子代會給出帶不同尺度的穩定律極限），而條件 {Z_n > 0} 不可或缺——沒有它，極限便是 0 處的點質量。對一個「在極限下機率為零」的事件取條件，正是萃取非平凡結構之所在。
臨界二元分裂（各以機率 1/2 有 0 或 2 個子女）有 sigma^2 = 1。雅格洛姆定理說：在「家族經 n 代後仍存活」的條件下，其大小除以 n 約為平均 1/2 的指數分布。所以第 100 代的罕見倖存者通常約有 50 個成員，而非 1 個——存活迫使其異常龐大。
在存活至第 n 代的條件下，臨界族群大小除以 n 約為指數分布。
指數極限對「子代變異數有限」的臨界過程成立；變異數無窮時，條件極限是另一尺度上的穩定律。條件 {Z_n > 0} 不可省略——少了它，極限只是 0 處的點質量。