穩定分布（stable distribution）
常態分布有一個驚人的自我複製性質：獨立常態之和經重新置中與縮放後仍是常態。穩定分布正是共有此性質的分布，且恰是獨立同分布變數標準化和的可能極限。它們是高斯在重尾情境下的自然推廣，也是廣義中央極限定理的歸宿。
一個分布稱為穩定，若對 X 的獨立副本 X_1, X_2 及任意正數 a, b，存在 c > 0 與實數 d，使 a X_1 + b X_2 與 c X + d 同分布（若可取 d = 0 則為嚴格穩定）。等價地，X 穩定當且僅當其特徵函數具形式 log phi(t) = i mu t - |sigma t|^alpha (1 - i beta sgn(t) w(t,alpha))，其中 alpha in (0,2] 為穩定指數，sigma > 0 為尺度，beta in [-1,1] 為偏度，mu 為位置，而 w 在 alpha != 1 時為 tan(pi alpha/2)、在 alpha = 1 時為 -(2/pi) log|t|。單一參數 alpha 控制尾部：alpha < 2 時分布有冪律尾 P(|X| > x) ~ const x^(-alpha)，故變異數無窮，且 alpha <= 1 時連均值都無窮。alpha = 2 即常態（也只有此情形有有限變異數，且除少數特例外有閉式密度）。
穩定律之所以重要，在於它們是廣義中央極限定理唯一的吸引子，並能建模重尾真實資料（金融報酬、網路流量、物理跳躍），那裡高斯嚴重低估極端值。誠實的警語居於核心。只有三個穩定律有閉式密度——常態（alpha=2）、柯西（alpha=1, beta=0）與李維（alpha=1/2, beta=1）——其餘僅透過特徵函數定義。且關鍵地，非高斯穩定律變異數無窮，故古典中央極限定理不適用於其獨立同分布和；正確的標準化是除以 n^(1/alpha) 而非 sqrt(n)。
柯西分布（alpha=1）是穩定的：若 X_1, ..., X_n 為獨立同分布標準柯西，其平均 (X_1+...+X_n)/n 仍是標準柯西——它不隨 n 增大而集中，因柯西無均值，故大數法則徹底失效。這是非高斯穩定律打破古典極限圖像最乾淨的例證。
穩定性 = 和經縮放後再現同一分布；alpha<2 時這伴隨著無窮變異數。
每個非高斯穩定律變異數皆無窮（alpha<=1 時連均值無窮），故古典中央極限定理不適用其和；只有常態、柯西與李維有閉式密度。