廣義中央極限定理（generalized central limit theorem）

古典中央極限定理要求有限變異數，且總落在常態。廣義中央極限定理移除有限變異數假設，並問更深的結構問題：標準化獨立同分布和的所有可能極限是什麼？答案恰是穩定律——別無他者。這正是解釋穩定律何以特殊的定理。

精確地說：若 X_1, X_2, ... 為獨立同分布，且存在常數 a_n > 0 與 b_n 使 (X_1 + ... + X_n - b_n)/a_n 依分布收斂到非退化分布 G，則 G 必為穩定律。反之，每個穩定律都由其吸引域中的分布以此方式產生。故標準化和可達極限之族恰是 alpha in (0,2] 的 alpha-穩定族。常態（alpha=2）是被加項有有限變異數（或勉強無窮變異數）時的極限；對指數 -alpha < 2 正則變化尾的被加項，極限是對應的非高斯穩定律，正確標準化為 a_n ~ n^(1/alpha)（乘一緩變因子）。特徵函數證明仿照古典：標準化和的對數特徵函數收斂到穩定對數特徵函數 -|t|^alpha（含偏度項），李維連續性定理收束論證。

廣義中央極限定理之所以重要，在於它是中央極限定理的概念性完成：它告訴我們重尾和並非無法無天——它們有普適的極限理論，只是不同的一套。它正當化金融與物理中的穩定律模型，並解釋反常擴散中所見的 n^(1/alpha) 尺度。誠實的警語：定理需要被加項屬於某個吸引域（非自動——振盪尾可能失敗），alpha < 2 時標準化是 n^(1/alpha) 而非 sqrt(n)，且 alpha <= 1 無均值故置中有微妙處。它也嚴格是獨立同分布（或同分布）陳述；一般非同分布的極限問題屬林德伯格—費勒／三角陣列理論。