穩定指數 alpha（stability index alpha）
在穩定律的四個參數（指數、偏度、尺度、位置）中，有一個主宰所有定性內容：穩定指數 alpha。它是一個數字，固定了尾部之重、哪些動差存在、和的正確標準化，以及大數法則與中央極限定理是否倖存。知道 alpha 就是知道所處的區制。
指數 alpha 取值於 (0, 2]。它作為 -|sigma t|^alpha 中的指數進入穩定特徵函數，等價地它是尾部指數：alpha < 2 時，當 x -> infinity 有 P(|X| > x) ~ c x^(-alpha)，一個冪律（以 -alpha 為指數正則變化）。後果是機械性的。動差：E[|X|^p] < infinity 恰當 p < alpha（alpha=2 的邊界常態情形擁有所有動差）。故 alpha > 1 有有限均值，alpha = 2 有有限變異數，alpha <= 1 連有限均值都沒有。和的尺度：對獨立同分布穩定被加項，S_n = X_1 + ... + X_n 滿足 S_n / n^(1/alpha) 與 X 同分布（至多差一置中），故散布像 n^(1/alpha) 增長——只要 alpha < 2 就比高斯的 sqrt(n) = n^(1/2) 快。
alpha 之所以重要，在於它診斷哪套極限理論適用。alpha = 2 時你在古典高斯世界（有限變異數、sqrt(n) 尺度、中央極限定理）。1 < alpha < 2 時均值存在、大數法則成立，但變異數無窮，和在 n^(1/alpha) 尺度下收斂到非高斯穩定律。alpha <= 1 時連大數法則都失敗。誠實的陷阱：人們對重尾資料套上高斯，因隱含假設 alpha = 2 而大幅低估極端風險；從尾部資料估計 alpha（希爾估計量）很微妙，且 n^(1/alpha) 尺度確實不同——alpha = 1.5 時和散布像 n^(2/3)，遠寬於高斯的 n^(1/2)。
若 X 有 alpha = 1.5，則 E[X] 存在（因 1 < alpha）但 E[X^2] = infinity（因 2 > alpha）。n 個此類獨立同分布變數之和經置中後散布像 n^(1/1.5) = n^(2/3) 而非 n^(1/2)——故高斯擬合會低估大和的波動程度。
alpha 決定尾部指數、哪些動差存在（p<alpha），以及 n^(1/alpha) 的和尺度。
alpha=2 是唯一有限變異數的穩定情形；alpha<2 時套用高斯嚴重低估尾部風險，而正確的和標準化是 n^(1/alpha) 而非 sqrt(n)。