正則變化尾（regularly varying tails）

高斯世界與穩定／重尾世界之間的微妙界線，由分布尾部衰減的速率劃定。正則變化是冪律尾的精確漸近語言。它正是把一個分布置於非高斯穩定律吸引域的確切條件，也是極值理論的骨幹。

(0, infinity) 上的正函數 L 稱為緩變（slowly varying），若對每個固定 c > 0 有 L(cx)/L(x) -> 1 當 x -> infinity（例子：常數、log x、log log x——任何比任何冪都慢地增長或衰減者）。函數 f 以指數 rho 正則變化，若 f(x) = x^rho L(x)，L 緩變；等價地 f(cx)/f(x) -> c^rho。分布有指數 -alpha（alpha > 0）的正則變化（右）尾，若其尾 P(X > x) = x^(-alpha) L(x)，L 緩變。單一數字 alpha 是尾指數；它控制哪些動差存在：p < alpha 時 E[X^p] < infinity，p > alpha 時為 infinity（邊界 p = alpha 取決於 L）。卡拉馬塔定理使之嚴格，讓你能漸近地積分與微分正則變化函數，並把尾積分與尾部本身相連。

正則變化尾之所以重要，在於它是 alpha-穩定律（alpha < 2）吸引域的確切歸屬準則：求和這類變數並除以 n^(1/alpha) 得到穩定極限。它也主宰極值行為（弗雷歇域）、保險中的大額理賠，以及風險中薄尾與肥尾之別。誠實的警語：正則變化純粹是漸近（大 x）陳述，對分布的主體一無所述，故兩個分布可在主體吻合卻在吸引類別上全然不同。緩變因子 L 在邊界確實重要（它決定確切的標準化序列及邊界動差是否有限），且「重尾」比「正則變化」更廣——對數常態與韋伯型尾雖重卻非正則變化，它們落在高斯（或岡貝爾）域而非穩定域。