複特徵值情形（complex eigenvalues case）

有時矩陣根本沒有任何實特徵向量，每個方向都被轉動了，沒有一個還指向原來的方向。這是代數發出的訊號：運動不是純粹的增長或衰減，而是振盪，旋轉、盤旋、一圈又一圈。複特徵值，正是一個實系統把旋轉編碼進去的方式。

當 A 是實矩陣時，複特徵值成對共軛出現：lambda = alpha + i beta 與它的共軛 alpha - i beta，並帶有一個複特徵向量 v = a + i b。做法 e^(lambda t) v 仍給出一個（複數）解，但你想要實的。竅門是：用尤拉公式 e^(i beta t) = cos(beta t) + i sin(beta t) 展開 e^((alpha + i beta) t) (a + i b)，然後分別取實部與虛部，每一個都是一個真正的實數解。結果是兩個形如 e^(alpha t) [cos(beta t)（某物）- sin(beta t)（另一物）] 與 e^(alpha t) [sin(beta t)(…) + cos(beta t)(…)] 的實數解。實部 alpha 決定包絡（alpha > 0 增長，alpha < 0 衰減，alpha = 0 維持不變）；虛部 beta 決定旋轉的角頻率。

幾何上這就是螺旋與中心。alpha 不為零時你得到一個螺旋點，軌跡向內或向外纏繞；alpha 恰為零時你得到一個中心，閉合的橢圓軌道，永遠不衰減的振盪。這正是彈簧質點系統或 LC 電路在方程組語言中現身的方式：複特徵值就是穿著矩陣偽裝的振盪。