特徵值方法（eigenvalue method）
對常係數齊次方程組 x' = A x，有一個主技法能直接把它解出來，不需猜測、不需積分因子。它建立在一個美妙的猜想上：方程組有一些解，會在時間流逝時保持形狀，只放大或縮小，就像一道影子會被拉長卻從不改變方向。
試 x(t) = e^(lambda t) v，其中 v 是一個固定的非零向量，lambda 是一個待求的數。微分得 x' = lambda e^(lambda t) v，而 A x = e^(lambda t) A v。要讓兩者對所有 t 都相等，你需要 A v = lambda v，這正是特徵值方程。所以 A 的每一個特徵值 lambda，配上一個特徵向量 v，就交給你一個解 e^(lambda t) v。做法於是是：解 det(A - lambda I) = 0（特徵方程）算出特徵值，對每個特徵值找一個特徵向量 v，再把得到的解組合起來。如果 A 是 n×n 並提供 n 個獨立的特徵向量，這 n 個解 e^(lambda_i t) v_i 就構成一組基本解組，通解就是它們的線性組合 c1 e^(lambda_1 t) v_1 + … + cn e^(lambda_n t) v_n。
這個方法把一個微分方程問題化約成純粹的線性代數，也就是求一個矩陣的特徵值與特徵向量。解的特性可以直接從特徵值讀出：實的給出純粹的增長或衰減，複數的給出振盪，重複的可能需要額外的技巧。這三種結果，就是分開處理的三種情形。
對 A = [1, 2; 0, 3]，det(A - lambda I) = (1 - lambda)(3 - lambda) = 0 給出 lambda = 1, 3。特徵向量 (1, 0) 與 (1, 1) 得到解 e^t (1, 0) 與 e^(3t) (1, 1)。通解：x(t) = c1 e^t (1, 0) + c2 e^(3t) (1, 1)。
每一對特徵值與特徵向量 (lambda, v) 貢獻一個解 e^(lambda t) v。
這個乾淨的版本假設 A 有 n 個獨立的特徵向量。當某個重複的特徵值缺少特徵向量時，光靠 e^(lambda t) v 不夠，你必須引入廣義特徵向量（重複特徵值的情形）。