切比雪夫方程
/ Chebyshev: CHEB-ih-shev /
有些特殊函数来自物理；切比雪夫的则来自“如何用多项式尽可能均匀地逼近一个函数”这一问题。切比雪夫方程（Chebyshev's equation）是其多项式解——切比雪夫多项式——为一致逼近之冠军的微分方程，即在一个区间上以完全相等的幅度起伏的那种多项式。
它是 (1 - x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0，定义在 -1 <= x <= 1 上，与勒让德一样在 x = +1 与 x = -1 处有正则奇点。幂级数解恰在 n 为非负整数时截断为多项式，给出第一类切比雪夫多项式 T_n(x)。引人注目之处是一个隐藏的换元：令 x = cos(theta) 把整个方程变成平凡的 d^2y/d(theta)^2 + n^2 y = 0，所以 T_n(cos theta) = cos(n theta)。那个著名的起伏多项式，不过是一个披着代数伪装的余弦。
由于 cos(n theta) 以等高的波纹在 +1 与 -1 之间振荡，T_n 是其次数的多项式中，在最坏情形（一致）意义下在 [-1, 1] 上最贴近零的那一个。这一“等波纹”性质使切比雪夫多项式成为数值分析的支柱：切比雪夫插值避免了困扰等间距多项式拟合的剧烈振荡（龙格现象），切比雪夫节点是最优采样点，切比雪夫展开是谱方法与电子滤波器设计的基础。这里“方程”是入口，但其回报压倒性地偏向计算而非物理。
取 n = 3 求解得 T_3(x) = 4x^3 - 3x。验证那个伪装：4(cos theta)^3 - 3 cos theta = cos(3 theta)，即三倍角公式。所以切比雪夫的三次式实际上就是用 x = cos theta 重新表达的 cos(3 theta)。
T_n(cos theta) = cos(n theta)——倍角公式恰好就是切比雪夫多项式。
有两个家族：第一类 T_n（权 1/sqrt(1 - x^2)）与第二类 U_n（权 sqrt(1 - x^2)），来自同一方程的两个解。“最优插值”的名声属于第一类；不要把两者混为一谈。