凯莱变换

自伴算子与酉算子之间有一部优美的词典，而凯莱变换就是那把翻译钥匙。它是复数一个熟悉函数的算子版本：把实数送到单位圆上一点的映射。对自伴算子 A，凯莱变换是 U = (A - iI)(A + iI)^-1，结果总是酉的。

看它对特征值做了什么——谱映射定理使这变得不费力。A 的每个实特征值 lambda 变为 U 的特征值 (lambda - i)/(lambda + i)。当 lambda 跑遍实轴时，这个分式跑遍单位圆（仅缺一点 1，即 lambda = 无穷 的像）。于是谱住在实轴上的自伴算子，映为谱住在单位圆上的酉算子——这两类算子各自的自然居所之间的一种完美谱对应。

这个变换可逆：A = i(I + U)(I - U)^-1 复原出自伴算子（只要 1 不是 U 的特征值）。这种来回切换确有用处。它让你把关于自伴算子的问题转化为关于酉算子的问题，反之亦然，并能构造具有指定谱的酉算子。在无限维下，同样的想法（需小心定义域）是通过有界酉算子研究无界自伴算子的标准手段——凯莱变换是一个有限维的小事实，却影响深远。