柯西乘积

若把两个有限和相乘，你会收集所有交叉乘积再加起来。柯西乘积正是对两个无穷级数做同样事情的自然方式：你聚集所有乘积 a_i b_j，并按 i + j 为常数的对角线把它们组织起来，这恰如多项式（或幂级数）的系数相乘。

给定两个级数 sum a_n 与 sum b_n，其柯西乘积是级数 sum c_n，其中 c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + ... + a_n b_0 = sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}。人们希望：若 sum a_n = A 且 sum b_n = B，则 sum c_n = AB。正是这条法则使幂级数的逐项相乘合法，因为 sum a_n x^n 与 sum b_n x^n 的柯西乘积产生 sum c_n x^n。

诚实的假设很要紧。梅尔滕斯定理保证 sum c_n = AB，只要两个级数都收敛且至少一个绝对收敛。若两者都仅条件收敛，柯西乘积可能根本不收敛——一个经典反例取 a_n = b_n = (-1)^n / sqrt(n+1)。当两个因子都绝对收敛时，乘积绝对收敛到 AB，毫无附加条件。