支割线

某些自然的函数,如平方根或对数,在复平面中确实是多值的:单个输入 z 有若干个同样合法的输出,因为 z 的辐角只在相差 2pi 的整数倍意义下确定。支割线是你从平面中割出并禁止自己跨越的一条曲线,正是为了让剩下的部分有单一、自洽、连续的取值选择。它是一道有意为之的伤疤,把多值函数驯服为单值函数。

具体地,要定义对数的一个分支 log z = ln|z| + i arg(z),必须把 arg(z) 钉在一个确定的区间上,比如 (-pi, pi],这就迫使沿负实轴出现间断,那里辐角从略小于 pi 跳到略大于 -pi。去掉那条射线——支割线——便留下一个单连通区域,log 的单值全纯分支在其上存在。割线的端点(此处为原点)是分支点,一个不可避免的奇点,多值性真正绕着它循环。

割线的放置是自由选择——你可以让它从分支点沿任意曲线通向无穷(或在两个分支点之间)——但某条割线是被迫的,因为在环绕分支点的环上不可能存在单值连续分支。跨越割线会使值跳变一个固定量(对 log 而言为 2pi i)。彻底去掉割线的诚实办法是过渡到黎曼曲面,函数在其上真正变成单值且全纯,代价是生活在一个多叶空间而非平面上。