积分的绝对连续性

一个可积函数无法把它的大部分质量藏在很小的地方。积分的绝对连续性把这一点量化:若你只在测度足够小的集合上积分,其贡献必定很小——而且是一致地小,无论那小集合位于何处。把定义域压缩到几近于无,其上的积分也随之趋于零。

确切地说,若 f 可积,则对每个 epsilon 大于 0,存在 delta 大于 0,使得对每个满足 μ(E) 小于 delta 的可测集 E,|f| 在 E 上的积分小于 epsilon。要点在于对 E 的一致性:同一个 delta 对所有小集合同时奏效,仅由它们的测度控制。这正是绝对连续(关于该测度)一语的依据。

此性质对非可积函数失效,且是若干结果背后的分析引擎:不定积分,即 x 映到 f 在 [a, x] 上的积分,是 x 的绝对连续函数;而集函数 E 映到 f 在 E 上的积分,是一个绝对连续测度。它是拉东–尼科迪姆关系在积分一侧的投影。