在可测集上的积分

你常常只想要 f 在空间某一部分上的面积——比如在区域 E 而非全空间上。勒贝格的干净技巧是把 f 乘以 E 的指示函数,这个开关在 E 上为 1、在 E 外为 0,然后在全空间上积分。E 之外被积函数为零,毫无贡献;E 之内它就是 f。所以限制不过是乘以一个开关。

确切地说,对可测集 E 与使之有意义的函数 f,f 在 E 上的积分定义为 f 乘以 E 的指示函数在全空间上的积分。等价地,可对 f 在 E 上的限制关于限制在 E 上的测度积分。把 E 映到 f 在 E 上积分的集函数是可数可加的:把 E 分成互不相交的可测块,积分就分裂成相应的和。

这种打包使许多操作毫不费力:在互不相交集合之并上的积分相加;在嵌套收缩集合上的积分连续地变化;而积分的绝对连续性恰恰说这个集函数在小测度集合上很小。它也是把固定 f 的积分本身视为一个(带符号)测度的桥梁。