魏爾斯特拉斯換元（Weierstrass substitution）

如果一個三角積分混亂到——比如 1 / (2 + cos x)——奇偶招式都不奏效怎麼辦？魏爾斯特拉斯換元是萬能逃生口：令 t = tan(x/2)，每個三角函數都變成 t 的有理函數。這一個換元就把任何關於 sin 和 cos 的有理表達式的積分，化成普通有理函數的積分，而部分分式總能把它做完。

奧妙來自三條由半角公式推出的恆等式：當 t = tan(x/2) 時，sin(x) = 2t / (1 + t^2)，cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)，dx = 2 dt / (1 + t^2)。三者都代入後三角函數完全消失，只剩 t 的多項式之比。這就是它有時被稱為「萬能代換」的原因：對 sin 和 cos 的有理函數它從不失效，即便沒有任何巧妙捷徑。

正因為它總管用，它是一個讓人安心的最後手段——但它很少是最漂亮的路，因為它可能造出一個高次有理函數，部分分式的活兒很重。一個誠實的提醒是：t = tan(x/2) 在 x = pi（pi 的奇數倍）處發散，所以在包含這種點的區間上換元在該處是反常的，你應當拆分積分或用連續性論證；對跨越整個週期的定積分，這一點需要小心。