三角換元（trigonometric substitution）

有些積分被 sqrt(a^2 - x^2) 或 sqrt(x^2 + a^2) 這樣的根號纏住，普通的 u 換元解不開。三角換元的辦法，是把 x 換成一個新角度的三角函數，讓討厭的根號塌縮成乾淨的式子。整個思路依賴勾股恆等式：1 - sin^2 = cos^2，1 + tan^2 = sec^2，sec^2 - 1 = tan^2。每一條恆等式都是一把鑰匙，對應一種根號的形狀。

具體地說：遇到 sqrt(a^2 - x^2)，令 x = a sin(theta)，根號變成 a cos(theta)；遇到 sqrt(a^2 + x^2)，令 x = a tan(theta)，根號變成 a sec(theta)；遇到 sqrt(x^2 - a^2)，令 x = a sec(theta)，根號變成 a tan(theta)。你同時把 dx 換成它的微分（對 x = a sin(theta)，dx = a cos(theta) d(theta)），把整個積分化成關於 theta 的積分，積出來，再藉助一個記錄原換元的直角三角形把結果翻譯回 x。定積分則可以直接把上下限換成角度後帶著走。

這套技巧是求弧長、橢圓面積，以及物理中許多含 sqrt(r^2 + z^2) 的距離或勢能積分的標準路線。一個誠實的提醒是記帳問題：你必須盯住根號的符號和角度的取值範圍（主值分支），因為 sqrt(cos^2 theta) 等於 cos(theta) 的絕對值，而不是 cos(theta) 本身。選取餘弦非負的那段角度區間，正是讓代數保持誠實的關鍵。