換元積分法（u-substitution）

換元積分法是處理那些不合基本套路的積分時，第一個真正管用的技巧。它的想法是：把被積函數裡亂糟糟的某個內部部分改名為一個新字母 u，於是整個式子坍縮成你早已會積分的簡單形式。這就像暫時把一段複雜的話裝進一個盒子，對盒子做輕鬆的處理，最後再開盒還原。

它就是鏈式法則的逆運算。鏈式法則說，複合函數的導數等於外層導數乘以內層導數；按這種方式得來的積分，便暗含一個內層函數導數的因子。於是你令 u = g(x)，算出 du = g'(x) dx，再把兩部分替換掉：integral f(g(x)) g'(x) dx 就變成 integral f(u) du。例如在 integral 2x cos(x^2) dx 中，令 u = x^2，則 du = 2x dx，積分化為 integral cos(u) du = sin(u) + C = sin(x^2) + C。

訣竅在於看出那個內層函數——它的導數（也許相差一個常數）也正待在積分裡。對定積分，你有兩條乾淨的路：把上下限換成 u 的值並在 u 下算完；或先換回 x，再代入原來的上下限——但絕不要混用，拿 x 的上下限去配 u 的表達式。當所需的 g'(x) 因子缺失或多餘時，單靠換元就不行了，你就得動用別的方法，比如分部積分。