定積分（definite integral）

定積分是當你把一個變化的量沿著一段區間掃過時所累積出來的總量。如果一個函數告訴你每一瞬間水流入水箱的速率，那麼它在一小時上的定積分就告訴你這一小時裡共注入了多少水。它是一個單獨的數——總帳——從無窮多個無窮小的貢獻中擠壓出來。

嚴格地說，f 從 a 到 b 的定積分，記作 integral from a to b f(x) dx，定義為當切片變得無限薄時黎曼和的極限：integral from a to b f(x) dx = lim (n -> infinity) sum f(x_i) dx，其中 dx -> 0。它並不被定義為「曲線下的面積」——那只是最簡單情形下的圖像。當 f 落到 x 軸下方時，它的貢獻記為負，所以積分度量的是帶符號的淨累積量：軸上方的面積減去軸下方的面積。如果 f 在整段區間上都在軸上方，那麼積分確實等於幾何面積，這也是為什麼面積的圖像常被最先講到。

結果是一個純粹的數，只取決於 f 與兩個端點 a、b——變量 x 是「啞變量」，所以 integral from a to b f(x) dx 與 integral from a to b f(t) dt 含義完全相同。神奇之處在於，你幾乎從不直接去算這個極限：微積分基本定理讓你找一個原函數 F，然後簡單地相減，F(b) - F(a)。這條捷徑把一個看似無望的無窮求和，變成了一次減法。