極限

想像你正朝著一道門口走去。你也許永遠不會正好踩在門檻上，但旁觀者一眼就能看出你要去哪裡。極限對函數問的正是同一個問題：當輸入 x 越來越靠近某個值 a 時，輸出 f(x) 會朝著哪個唯一的數靠攏？那個目的地就是極限。妙就妙在你其實並不需要真的到達——函數甚至不必在 a 處有定義——這個問題照樣可以有一個清晰的答案。

我們寫作 lim x->a f(x) = L，意思是「當 x 趨近 a 時，f(x) 趨近數 L」。關鍵詞是「趨近」。我們刻意不去管在 x = a 這一點上到底發生了什麼，只看它附近的取值。要讓極限等於 L，f(x) 必須從兩側——左邊和右邊——都朝著 L 靠攏，而且兩側必須一致。如果左側和右側瞄向不同的數，或者取值飛向無窮，那麼極限就不存在。請注意，L 說的是 f(x) 的走勢，它可以和 f(a) 完全不同，甚至在 f(a) 根本不存在時也照樣存在。

極限是微積分中其餘一切賴以建立的基石。導數是一個極限，定積分是一個極限，而無窮級數恰好在某個極限存在時收斂。整門學科歸根結底就是對「各種量趨向何方」的細緻研究。所以在這一個觀念上多花的一點功夫，會一次又一次地得到回報。