單側極限

想像你站在數軸上的某一點，問：「函數要往哪兒走？」——但這次只允許你從一個方向靠近。如果你從左邊悄悄逼近 a，用比 a 小的輸入，你得到的是左極限。如果你從右邊過來，用比 a 大的輸入，你得到的是右極限。這是兩個各自獨立的問題，答案確實可能不同，就像兩個人從相反的走廊走向同一道門口。

我們把左極限寫作 lim x->a^- f(x)（x 通過比 a 小的值趨近 a），把右極限寫作 lim x->a^+ f(x)（x 通過比 a 大的值趨近）。把它們和普通極限聯繫起來的關鍵事實是：雙側極限 lim x->a f(x) 存在且等於 L，當且僅當兩個單側極限都存在並且都等於同一個 L。用符號說，極限存在恰好等價於 lim x->a^- f(x) = lim x->a^+ f(x)。若兩側不一致，普通極限就不存在。

對於在某點改變其規則的函數——比如稅率檔位、價格圖上的台階、或分段定義的函數——單側極限是天然的工具。它也是我們能在定義域的端點處談論極限的原因，因為那裡只有一側可供靠近。所謂「跳躍間斷」正是這種情形：兩個單側極限都存在，但彼此不相等。