連續性

連續函數就是那種你不用提筆就能一筆畫完的函數——沒有空洞、沒有突然的跳躍、沒有圖像被撕裂開的地方。一天裡的氣溫是連續的：它可以上升或下降，但絕不會從一個值瞬間「傳送」到另一個值。連續性是用數學的方式說一個函數沒有意外：把輸入輕輕挪動一點點，輸出也只挪動一點點。

確切地說，f 在點 a 處連續，需要同時滿足三件事：f(a) 有定義；極限 lim x->a f(x) 存在；並且這兩者是同一個數——也就是 lim x->a f(x) = f(a)。用大白話說，函數要去的地方，恰好就是它真正落腳的地方。如果極限和取值不一致，或者其中任一個缺失，函數就在 a 處不連續。如果在一個區間的每一點上都滿足上述條件，函數就在該區間上連續；我們熟悉的那些函數——多項式、正弦餘弦、指數函數——在它們有定義的地方處處連續。

連續性之所以重要，是因為微積分的那些大定理都悄悄地以它為前提。介值定理（區間 [a, b] 上的連續函數會取到 f(a) 與 f(b) 之間的每一個值）和最值定理（閉且有界區間上的連續函數必能取到最大值和最小值）若沒有連續性都會失效。還有一個常見的混淆要澄清：連續比可導更弱——一個函數可以連續，卻帶有尖角，比如 |x| 在 0 處，那裡不存在唯一的切線。