中值定理（mean value theorem）

假設你 2 小時開了 120 英里。即便途中時快時慢，你的平均速度也是 60 英里/小時。中值定理說出了一件更強、卻幾乎顯然的事：行程中的某一瞬間，你的速度表讀數必定恰好是 60。你的瞬時速度至少有一次必須等於平均速度，因為你不可能全程一直高於、或一直低於自己的平均值。

形式化地說：若 f 在閉區間 [a, b] 上連續，且在開區間 (a, b) 內可導，則在 (a, b) 內至少存在一點 c，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。右邊是平均變化率——連接兩端點的那條直線的斜率；而 f'(c) 是瞬時變化率。定理保證存在一點，其切線與那條連線平行。

兩個條件各有其用，缺一不可：在整個閉區間上連續、在內部可導，都不能捨去。函數 f(x) = |x| 在 [-1, 1] 上平均斜率為 0，可它的導數從不為 0，因為 x = 0 處有尖角，f 在那裡不可導。這條定理是許多結論背後默默出力的主力——例如，我們正是用它證明：在一個區間上處處導數為 0 的函數必為常數。