變化率（rate of change）

變化率告訴你：輸入每走一步，輸出移動多少。2 小時開了 120 英里，平均速率就是每小時 60 英里：這一個數字把整段旅程壓縮成一句概括——位置隨時間變化得有多快。速度、增長、冷卻、利息——幾乎每一個變化的量都用某種變化率來描述。

對函數 f 而言，輸入從 a 到 b 之間的平均變化率，是輸出的改變量除以輸入的改變量，即 (f(b) - f(a)) / (b - a)。從幾何上看，這是割線的斜率——穿過圖像上 (a, f(a)) 與 (b, f(b)) 兩點的那條直線。縱向升高除以橫向跨度：函數爬升了多少，均勻地攤到整個區間上。

這正是導數生長的種子。平均變化率把一整段抹平了，所以它可能掩蓋逐時逐刻發生的事——一輛平均時速 60 英里的車，也許先停著不動，再飆到 90。要捕捉某一瞬間而非某區間上的變化率，你讓 b 不斷逼近 a，看著割線斜率趨向一個極限值；這個極限就是瞬時變化率，也就是導數。