導數（derivative）

想像你正在開車，瞥了一眼速度表，上面顯示 60 公里每小時——但那是你此刻這一瞬間的速度，而不是整趟行程的平均速度。導數就是這塊速度表讀數的數學版本：它告訴你某樣東西在某一精確時刻變化得有多快，而不是在一段時間裡的平均變化。平均變化問的是「走了多遠除以花了多久」，而導數則不斷拉近鏡頭，直到那段時間小到幾乎為零。

精確地說，函數 f 在某點 x 處的導數，是差商的極限：f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h。分式 (f(x+h) - f(x)) / h 是在一小步 h 上的平均變化率——也就是圖像上兩個相鄰點之間的縱向變化除以橫向變化。當 h 縮小到趨近 0 時，這兩個點逐漸重合；若這個分式穩定地趨向某個唯一的有限值，該值就是導數。常用記號有 f'(x)（拉格朗日記號）、dy/dx（萊布尼茨記號，讀作「d y d x」），物理中還有上加一點的 y 表示對時間求導。

把導數是什麼、不是什麼弄清楚很有幫助。它確實是一個極限——你並不真的代入 h = 0，那會得到毫無意義的 0/0；你要看的是當 h 任意逼近 0 時，這個分式趨向什麼。而且導數本身也是一個函數：在每一個使極限存在的輸入 x 處，它輸出那裡的變化率，於是一條曲線就交給你一整條由斜率組成的新曲線。