可微性（differentiability）

可微性不過是「這裡光滑到足以有一個明確斜率」的文謅謅說法。用手指沿著圖像滑過去：如果曲線在某點平緩地彎曲，沒有突然的折角或斷裂，你的手指就能沿一個清晰的方向繼續移動——曲線在那裡就是可微的。如果你撞上一個尖角，手指不得不猛地拐向新方向，那裡就不可微。

形式上說，當導數 f'(a) = lim h->0 (f(a+h) - f(a)) / h 作為一個有限的數存在時，函數 f 在點 a 處可微。要讓這個極限存在，無論 h 從正方向還是負方向縮小，差商都必須趨向同一個值——從左邊逼近的斜率必須與從右邊逼近的斜率相等。如果在一個區間的每一點都成立，函數就在該區間上可微。

要記住的關鍵關係只朝一個方向成立：可微蘊含連續，反過來不成立。如果一個函數在某點有導數，它在那裡必定連續（沒有跳躍或空洞）。但許多連續函數並不可微：|x| 在 0 處有尖角，立方根曲線在 0 處有豎直切線，而尖點會捏成一個點——它們都不間斷，卻沒有唯一的斜率。所以光滑是比單純連續更強的要求。