切線（tangent line）

想像一顆彈珠沿著彎碗的內壁滾動。在任何一瞬間，它前進的方向都是一條直線——這條直線剛好在那一點擦過曲線，並指向曲線在那裡前進的方向。這條擦過的直線就是切線。湊近看，如果你把一條光滑曲線放大得足夠大，它就完全不再像彎的，而像一條直線；切線正是那條直線。

在 x = a 這一點處，切線經過點 (a, f(a))，斜率等於導數 f'(a)。所以它的方程是 y = f(a) + f'(a)(x - a)。這是曲線在該處的局部最佳線性擬合：在所有經過這一點的直線中，切線是當你挪開極小一步時最貼合曲線的那一條。導數提供斜率，點提供這條線落在何處。

一個常見的誤解是：切線與曲線只在一點相切，或永遠不穿過曲線。這兩點都不可靠。切線可以恰好在切點處穿過曲線（想想拐點），同一條線也可能在一處相切、卻在別處完全切穿曲線。決定切線的，是它在那一點處與曲線斜率相同——而不是這條線總共與曲線相遇幾次。