線性近似（linear approximation）

離任何一條光滑曲線足夠近地看，它都顯得是直的——就像地球是圓的，可地平線看上去卻是平的。線性近似正是利用了這一點：在一個你瞭如指掌的點附近，用切線替換掉那條繁雜的曲線，改從直線上讀取數值。想估算 sqrt(4.1)？你早已確切知道 sqrt(4) = 2，於是沿切線稍稍挪動一點，不用計算器就能得到相當好的答案。

公式就是 x = a 處切線的方程：當 x 靠近 a 時，f(x) ~ f(a) + f'(a)(x - a)。已知值 f(a) 是你的錨點，而 f'(a) 是斜率，告訴你每離開一步、輸出變化有多快。同樣的想法用微分可寫得很緊湊：dy = f'(x) dx，其中 dx 是輸入的微小變化，dy 是由此得到的、對輸出變化的直線估計，是真實 y 變化量的一個近似。

誠實的提醒是：這只是估計，只有在錨點附近才最準。x 離 a 越遠，真實曲線就越偏離切線，誤差也隨之增大。增長有多快，取決於曲率——也就是二階導數 f''。對 sqrt(4.1)，這個估計極好；可若從 a = 4 出發去估 sqrt(9)，那就毫無希望了。線性近似是牛頓法、誤差分析的基礎，也是每個泰勒級數的第一項。